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期刊导读

运算检验为数学运算护航以圆锥曲线单元复习课

来源:临床检验杂志 【在线投稿】 栏目:期刊导读 时间:2021-07-08

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《新课标》)提出了高中数学六大核心素养,数学运算是其中一个核心素养.在日常课堂教学中,广大教师常会遇到这样一个问题:一些有难度的压轴题(如解析几何题、函数导数综合题等),好不容易算出一个结果,却不知道这个结果是否正确.

2019年10月30日—11月1日,第3届浙江省高中数学尖峰教育论坛“问题链与数学核心素养”活动在笔者所在学校举行.期间笔者开设了一节研讨课“圆锥曲线单元复习课之检验篇”,通过问题链的设计,寻求自我检查的策略与方法,树立运算检验的意识,回归数学核心素养落地的初衷.现把课堂实录、反思感悟记录成文,与同行们分享.

1 课堂简录

1.1 倾听困惑,用心引入

师:我们知道解析几何是用代数的方法解决几何问题,代数方法有其严谨性的特点,同时也带给我们很多困难,同学们对此有什么感受?

生(众):运算繁、过程长,最关键(最痛苦)的是不知道运算结果对不对.

师:同学们遇到了数学运算的“坎”,对吧?数学运算贯穿整个数学学习过程,它是我们高中数学六大核心素养之一,这是一个绕不过去的“坎”.这节课我们一起来探讨和解决这方面的问题,先从一个熟悉的问题开始……

设计意图教师倾听学生的内心想法,让学生把遇到的困惑说出来,并带领学生想策略、找办法、攻难关.

图1

1.2 典例引入,问题延伸

引例如图1,设抛物线C:y2=2px(其中p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于点A,B.若直线AB的斜率为k,则|AB|=______.

师:这是圆锥曲线单元学习中的一个典型问题——直线与抛物线相交求弦长,请同学们来交流一下解题思路.

生1:因为直线AB过焦点F,所以线段AB的长度就是焦点弦.利用抛物线的定义可得

只需求出x1+x2.设直线AB的方程为代入抛物线方程,消去y,得然后整理得到关于x的一元二次方程,利用Δ>0和韦达定理即得x1+x2,x1x2的表达式,进而求得|AB|的值.

师:很好!生1将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再联立方程消元得到一元二次方程,利用韦达定理得到x1+x2,然后直接计算得到|AB|的值.还有其他方法吗?

生2:结合生1的方法得x1+x2,x1x2的表达式,然后用弦长公式计算.设A(x1,y1),B(x2,y2),则将x1+x2,x1x2的表达式代入即可.

师:以上两位同学分享了自己的解题思路,都非常棒!

设计意图让学生对一个典型问题进行思考、分享方法,通过总结策略并强化方法,让学生在思想上引起重视,同时为后面的例2埋下伏笔.

师:甲、乙、丙、丁4位同学得到了以下4个答案,有且仅有一个是对的,请快速选择:

生(齐声回答):选D.

师:为什么?

生3(环顾四周):算出来的,身边的几位同学答案和我的一样.

师:对的,大家算出来都一样,大大增加了“正确”的可能性.多次重复计算结果都一致,大大降低了出错的可能性,但也付出了沉重的时间和精力代价.其实这个题目可以快速求解,大家都知道,抛物线中p的几何意义是焦点到准线的距离.在物理学中,p是距离,有长度单位,从单位的视角看选项A,左边的单位是厘米,右边的单位是厘米的平方,故排除选项A.再看选项B,C,D,没法排除,那么选项B,C,D该如何选择呢?

生4:取k=0可排除选项C,取k=-1可排除选项B.

师:从对称的视角看选项B,画两条关于x轴对称的直线,若斜率k满足条件,则斜率-k也满足条件,因此|AB|=f(k)应该是偶函数,故可排除选项B;从趋势的视角看选项C,当k→0时,|AB|→+∞,故可排除选项C.

(学生一片“哇”的声音,感叹解法之妙!不少学生小声议论:“趋势的视角,其实我也想到了.”)

师:通过上面3个视角,可以快速检验结果的正确性.现在我们一起将检验方法进行总结、归纳.

正确性检验方法1)看单位——量纲检验法;2)看对称——对称检验法;3)看趋势——趋势检验法.

师:事实上,我们常用的检验方法还有……

正确性检验方法的补充4)重做一遍——重复检验法;5)换个角度——另解检验法;6)取个特例——特例检验法;7)研究边界——边界检验法;等等.

设计意图通过对引例中学生解答结果正确与否的不确定性,编制一道选择题,让学生小题小做,达到快、准的目的,并一边分析选项一边总结方法,初步形成检验的意识和方法.

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